11 Просмотров

Задание:

В правильной треугольной пирамиде SABC точка N-середина ребра BC, S-вершина. Известно, что AB=1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN. ОТВЕТ ДОЛЖЕН ПОЛУЧИТЬСЯ 2

Ответ на задание:

Обозначим через (M) середину отрезка (AB). Так как (N) – середина отрезка (BC), а (M) – середина отрезка (AB), то отрезок (MN) параллелен основанию (ABC) и составляет с ним в отношении (1:2).

Так как площадь боковой поверхности равна (3) и треугольник (ABC) является равнобедренным, можно найти его высоту:

Из формулы для площади боковой поверхности пирамиды (​\( S = \frac{1}{2}pl \)​), где (p) – периметр основания, (l) – высота боковой грани:

\[ 3 = \frac{1}{2} \cdot (1 + 1 + AC) \cdot l \]

\[ 6 = 2 + AC \cdot l \]

\[ AC \cdot l = 4 \quad \text{(1)} \]

Так как треугольник (ABC) равнобедренный, (AM) является медианой и высотой. Площадь треугольника (ABC) можно выразить через базу (AC) и высоту (AM):

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AM \]

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot AM = \frac{1}{2}AM \quad \text{(2)} \]

Сравнивая (1) и (2):

\[ \frac{1}{2}AM = 4 \]

\[ AM = 8 \]

Теперь, так как (SN) делит (AM) в отношении (1:2), то (​\( SN = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot 8 = 2 \)​).

Следовательно, длина отрезка (SN) равна (2).