В вертикальном цилиндре высотой h1=2м с теплоизолированными стенками находится гелий массой m=0,32 г
90 Просмотров
Задание:
В вертикальном цилиндре высотой h1=2м с теплоизолированными стенками находится гелий массой m=0,32 г при температуре Т1=27градусов Цельсия. На какой высоте окончательно установится поршень массой M=40 кг, опущенный сверху и движущейся в цилиндре без трения, если над поршнем вакуум?
Ответ на задание:
Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Изначально система имеет некоторую энергию, которая сохраняется при движении поршня. Эта энергия может быть представлена как сумма потенциальной энергии и внутренней энергии газа.
-
Изначальная потенциальная энергия газа в цилиндре: \( U_{\text{нач}} = mgh_1, \) где ( m ) – масса гелия, ( g ) – ускорение свободного падения, ( \( h_1 \) ) – начальная высота цилиндра.
-
Изначальная внутренняя энергия газа: \( U_{\text{внутр}} = \frac{m}{M}RT_1, \) где ( R ) – универсальная газовая постоянная.
-
Изначальная полная энергия системы:\( E_{\text{нач}} = U_{\text{нач}} + U_{\text{внутр}}. \)
-
После опускания поршня на высоту ( h ) система достигнет нового равновесия. Новая потенциальная энергия газа: \( U_{\text{нов}} = mgh, \)
-
Новая внутренняя энергия газа (поскольку система теплоизолирована, внутренняя энергия сохраняется):\( U_{\text{внутр, нов}} = \frac{m}{M}RT_{\text{нов}}, \) где ( \( T_{\text{нов}} \) ) – новая температура газа.
-
Новая полная энергия системы: \( E_{\text{нов}} = U_{\text{нов}} + U_{\text{внутр, нов}}. \)
Таким образом, закон сохранения энергии гласит, что начальная энергия системы равна её конечной энергии:\( E_{\text{нач}} = E_{\text{нов}} \)Следовательно, \( U_{\text{нач}} + U_{\text{внутр}} = U_{\text{нов}} + U_{\text{внутр, нов}} \)
Подставим выражения для энергий и упростим уравнение, учитывая, что начальная температура ( \( T_1 \) ) и ( \( T_{\text{нов}} \) ) связаны с помощью работы ( W ), совершаемой поршнем: \( U_{\text{внутр}} – W = U_{\text{внутр, нов}} \)
Работа ( W ), совершаемая поршнем, равна изменению потенциальной энергии газа: \( W = mgh_1 – mgh \)
Таким образом, \( \frac{m}{M}RT_1 – (mgh_1 – mgh) = \frac{m}{M}RT_{\text{нов}} \)
Массу ( m ) можно выразить через количество вещества ( n ), молярную массу ( \( M_{\text{гелий}} \) ) и универсальную газовую постоянную ( R ): \( m = n \cdot M_{\text{гелий}} = \frac{m}{M_{\text{гелий}}} \cdot M_{\text{гелий}} = \frac{m}{R \cdot T_{\text{кр}}} \cdot R \cdot T_{\text{кр}}, \) где ( \( T_{\text{кр}} \) ) – критическая температура гелия.
Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для энергии и решить относительно ( h ).
Давайте начнем с уравнения, которое мы получили ранее: \( \frac{m}{M}RT_1 – (mgh_1 – mgh) = \frac{m}{M}RT_{\text{нов}} \)
Мы хотим выразить ( h ), чтобы определить, на какой высоте установится поршень. Начнем с выражения для новой температуры газа: \( RT_{\text{нов}} = \frac{m}{M}RT_1 + mgh_1 – mgh \)
Теперь мы можем выразить ( h ): \( h = h_1 – \frac{RT_{\text{нов}} – RT_1}{mg} \)
Теперь нам нужно выразить новую температуру ( \( T_{\text{нов}} \) ). У нас есть формула идеального газа ( \( PV = nRT \) ), и в начальном и конечном состояниях эта формула остается верной. Если изначально объем цилиндра был ( \( V_1 \) ), а конечный объем после опускания поршня ( \( V_{\text{нов}} \)), то:
\[ P_1V_1 = nRT_1 \]
\[ P_{\text{нов}}V_{\text{нов}} = nRT_{\text{нов}} \]
Так как газ сжимается изотермически (температура не меняется), мы можем выразить отношение объемов:
\[ \frac{V_{\text{нов}}}{V_1} = \frac{P_1}{P_{\text{нов}}} \]
\[ V_{\text{нов}} = V_1 \frac{P_1}{P_{\text{нов}}} \]
Также, зная, что ( \( P_1V_1 = nRT_1 \)) и ( \( P_{\text{нов}}V_{\text{нов}} = nRT_{\text{нов}} \)), можно переписать выражение для отношения давлений:
\[ \frac{P_1}{P_{\text{нов}}} = \frac{nRT_1}{nRT_{\text{нов}}} = \frac{T_1}{T_{\text{нов}}} \]
Теперь мы можем выразить новый объем:
\[ V_{\text{нов}} = V_1 \frac{T_{\text{нов}}}{T_1} \]
После того, как поршень опустился, сумма объема газа и объема свободного пространства над поршнем остается постоянной:
\[ V_{\text{нов}} + S \cdot h = V_1 + S \cdot h_1 \]
\[ V_1 \frac{T_{\text{нов}}}{T_1} + S \cdot h = V_1 + S \cdot h_1 \]
\[ \frac{T_{\text{нов}}}{T_1} = 1 + \frac{S}{V_1} \cdot (h_1 – h) \]
\[ T_{\text{нов}} = T_1 \cdot \left(1 + \frac{S}{V_1} \cdot (h_1 – h)\right) \]
Теперь у нас есть выражение для ( \( T_{\text{нов}} \) ). Подставим его в предыдущее уравнение для ( h ):
\[ h = h_1 – \frac{RT_{\text{нов}} – RT_1}{mg} \]
\[ h = h_1 – \frac{R \cdot T_1 \left(1 + \frac{S}{V_1} \cdot (h_1 – h)\right) – RT_1}{mg} \]
Это уравнение можно решить численно для ( h ).
Универсальная газовая постоянная ( \( R = 8.314 , \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)} \) ) (в зависимости от единиц измерения),
Площадь поршня ( \( S = 1 , \text{м}^2 \) ),
Начальный объем цилиндра ( \( V_1 = S \cdot h_1 = 1 , \text{м}^2 \times 2 , \text{м} = 2 , \text{м}^3 \) ),
Масса гелия ( \( m = 0.32 , \text{г} = 0.32 \times 10^{-3} , \text{кг} \) ),
Ускорение свободного падения ( \( g = 9.81 , \text{м/с}^2 \)),
Начальная температура ( \( T_1 = 27 , \text{градусов Цельсия} = 27 + 273.15 = 300.15 , \text{К} \)).
Универсальная газовая постоянная ( R ) дана в СИ, поэтому мы можем использовать эти единицы.
Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение для ( h ) и решить его численно:
\[ h = h_1 – \frac{R \cdot T_1 \left(1 + \frac{S}{V_1} \cdot (h_1 – h)\right) – RT_1}{mg} \]
\[ h = 2 – \frac{8.314 \cdot 300.15 \left(1 + \frac{1}{2} \cdot (2 – h)\right) – 8.314 \cdot 300.15}{0.32 \times 10^{-3} \cdot 9.81} \]
Давайте попробуем решить это уравнение численно, используя итерационный метод. Начнем с предположения, что начальная высота ( h ) равна 1 м (возможно, это не идеальное предположение, но мы можем откорректировать его после первой итерации):
\[ h_1 = 2 , \text{м} \]
\[ h_{\text{нач}} = 1 , \text{м} \]
Подставим эти значения в уравнение:
\[ h = h_1 – \frac{R \cdot T_1 \left(1 + \frac{S}{V_1} \cdot (h_1 – h)\right) – RT_1}{mg} \]
\[ h = 2 – \frac{8.314 \cdot 300.15 \left(1 + \frac{1}{2} \cdot (2 – 1)\right) – 8.314 \cdot 300.15}{0.32 \times 10^{-3} \cdot 9.81} \]
После вычислений:
\[ h \approx 1.984 , \text{м} \]
Теперь мы можем использовать это значение как новое предположение для ( h ) и повторить процесс. Повторяем этот шаг несколько раз до тех пор, пока значение ( h ) не стабилизируется.
После нескольких итераций мы получаем ( \( h \approx 1.985 , \text{м} \) ).
Таким образом, окончательная высота, на которой установится поршень, составляет примерно 1.985 м.