Вычислить следующие пределы:
7 Просмотров
Задание:
Вычислить следующие пределы:
- lim(n→∞) (n² + 1)/(2n + 1) – (3n² + 1)/(6n + 1)
- lim(n→∞) ((n + 2)! + (n + 1)!)/(n + 3)!
- lim(n→∞) (√(n³ – 2n²) + ∛(n⁴ + 1))/(∜(n⁶ + 6n⁵) – ∜(n⁷ + 3n³))
- lim(n→∞) √(n + 2)(√(n + 3) – √(n – 4))
- lim(n→∞) n(∛(5 + 8n³) – 2n)
- lim(n→∞) (∛n – ∛(n + 1))/(∜(n + 1) – ∜n)
Ответ на задание:
1.
Задача: Найти предел последовательности:
lim(n→∞) [(n² + 1)/(2n + 1) - (3n² + 1)/(6n + 1)]
Решение:
-
Приведение к общему знаменателю:
lim(n→∞) [(n² + 1)(6n + 1) - (3n² + 1)(2n + 1)] / [(2n + 1)(6n + 1)] -
Раскрытие скобок в числителе:
lim(n→∞) [6n³ + n² + 6n + 1 - 6n³ - 2n² - 3n - 1] / [(2n + 1)(6n + 1)] -
Сокращение подобных членов в числителе:
lim(n→∞) [4n - n²] / [(2n + 1)(6n + 1)] -
Вынесение старшей степени n в числителе и знаменателе:
lim(n→∞) [n²(4/n - 1)] / [n²(2 + 1/n)(6 + 1/n)] -
Сокращение n²:
lim(n→∞) (4/n - 1) / [(2 + 1/n)(6 + 1/n)] -
Вычисление предела:
Когда n стремится к бесконечности, дроби вида 1/n стремятся к нулю. Поэтому:
lim(n→∞) (4/n - 1) / [(2 + 1/n)(6 + 1/n)] = (-1) / (2 * 6) = -1/12
Ответ:
lim(n→∞) (n² + 1)/(2n + 1) - (3n² + 1)/(6n + 1) = -1/12
Таким образом, предел данной последовательности равен -1/12.
2.
Рассмотрим предел:
lim(n→∞) ((n + 2)! + (n + 1)!)/(n + 3)!
Шаг 1: Вынесение общего множителя
Заметим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель (n+1)!. Вынесем его за скобки:
lim(n→∞) [(n+1)! * (n+2+1)] / [(n+1)! * (n+3)]
Сократим (n+1)! в числителе и знаменателе:
lim(n→∞) (n+3) / (n+3)
Шаг 2: Упрощение выражения
Получаем:
lim(n→∞) 1
Шаг 3: Вычисление предела
Предел от константы равен этой константе:
lim(n→∞) 1 = 1
Ответ:
Таким образом, предел исходного выражения равен 1.
lim(n→∞) ((n + 2)! + (n + 1)!)/(n + 3)! = 1
3.
Найдем предел следующей последовательности:
lim(n→∞) (√(n³ - 2n²) + ∛(n⁴ + 1))/(∜(n⁶ + 6n⁵) - ∜(n⁷ + 3n³))
Решение:
-
Вынесение старших степеней:
Чтобы упростить выражение, вынесем из каждого корня старшую степень n:
= lim(n→∞) (n^(3/2) * √(1 - 2/n) + n^(4/3) * ∛(1 + 1/n⁴))/(n^(6/4) * ∜(1 + 6/n) - n^(7/4) * ∜(1 + 3/n³)) -
Сокращение степеней n:
Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
= lim(n→∞) (n^(1/12) * (√(1 - 2/n) + n^(1/12) * ∛(1 + 1/n⁴)))/(∜(1 + 6/n) - n^(1/4) * ∜(1 + 3/n³)) -
Применение предела к отдельным членам:
Используем свойство предела суммы и разности:
= lim(n→∞) (n^(1/12) * √(1 - 2/n)) / (-n^(1/4) * ∜(1 + 3/n³)) + lim(n→∞) (n^(1/12) * ∛(1 + 1/n⁴)) / (-n^(1/4) * ∜(1 + 3/n³)) -
Анализ каждого предела:
-
Первый предел:
- Числитель стремится к 0, а знаменатель стремится к бесконечности.
- Следовательно, первый предел равен 0.
-
Второй предел:
- Числитель стремится к бесконечности, а знаменатель также стремится к бесконечности.
- Это неопределенность вида ∞/∞.
- Для разрешения этой неопределенности можно использовать правило Лопиталя, но в данном случае проще заметить, что степень n в знаменателе выше, чем в числителе.
- Следовательно, второй предел также равен 0.
-
Ответ:
lim(n→∞) (√(n³ - 2n²) + ∛(n⁴ + 1))/(∜(n⁶ + 6n⁵) - ∜(n⁷ + 3n³)) = 0 + 0 = 0
Таким образом, предел данной последовательности равен 0.
4.
Задача: Вычислить предел:
lim(n→∞) √(n + 2)(√(n + 3) - √(n - 4))
Решение:
Чтобы упростить выражение под пределом, умножим и поделим на сопряженное выражение к √(n + 3) - √(n - 4):
√(n + 2)(√(n + 3) - √(n - 4)) * (√(n + 3) + √(n - 4)) / (√(n + 3) + √(n - 4))
Применим формулу разности квадратов в числителе:
= √(n + 2) * (n + 3 - (n - 4)) / (√(n + 3) + √(n - 4))
= √(n + 2) * 7 / (√(n + 3) + √(n - 4))
Теперь вынесем n из под корней в знаменателе:
= √(n + 2) * 7 / (√n * √(1 + 3/n) + √n * √(1 - 4/n))
= √(n + 2) * 7 / (√n * (√(1 + 3/n) + √(1 - 4/n)))
Сократим √n в числителе и знаменателе:
= √(1 + 2/n) * 7 / (√(1 + 3/n) + √(1 - 4/n))
Теперь найдем предел:
lim(n→∞) √(1 + 2/n) * 7 / (√(1 + 3/n) + √(1 - 4/n))
При n → ∞, дроби 2/n, 3/n и 4/n стремятся к нулю. Поэтому:
= √(1 + 0) * 7 / (√(1 + 0) + √(1 - 0))
= 7 / (1 + 1)
= 7/2
Ответ:
lim(n→∞) √(n + 2)(√(n + 3) - √(n - 4)) = 7/2
Таким образом, предел исходного выражения равен 7/2.
5.
Задача: Вычислить предел:
lim(n→∞) n(∛(5 + 8n³) - 2n)
Решение:
-
Вынесение общего множителя:
Чтобы упростить выражение под корнем, вынесем наибольшую степень
nиз под корня:lim(n→∞) n(∛(n³(5/n³ + 8)) - 2n)Используя свойства корня:
∛(a*b) = ∛a * ∛b, получим:lim(n→∞) n(n∛(5/n³ + 8) - 2n) -
Упрощение:
Раскроем скобки:
lim(n→∞) (n²∛(5/n³ + 8) - 2n²)Вынесем
n²за скобки:lim(n→∞) n²(∛(5/n³ + 8) - 2) -
Вычисление предела:
Когда
nстремится к бесконечности, дробь5/n³стремится к нулю. Поэтому:lim(n→∞) ∛(5/n³ + 8) = ∛8 = 2Подставим найденный предел в исходное выражение:
lim(n→∞) n²(2 - 2) = lim(n→∞) 0 = 0
Ответ:
lim(n→∞) n(∛(5 + 8n³) - 2n) = 0
Таким образом, предел данного выражения при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю.
6.
Найдем предел следующей последовательности:
lim(n→∞) (∛n - ∛(n + 1))/(∜(n + 1) - ∜n)
Решение:
Данный предел представляет собой неопределенность вида 0/0 при стремлении n к бесконечности. Для его вычисления воспользуемся методом сопряженных выражений.
-
Сопряжение числителя и знаменателя:
- Для числителя: сопряженное выражение будет (∛n)² + ∛n * ∛(n + 1) + (∛(n + 1))².
- Для знаменателя: сопряженное выражение будет (∜(n + 1))³ + (∜(n + 1))² * ∜n + (∜(n + 1)) * (∜n)² + (∜n)³.
Умножим числитель и знаменатель дроби на эти сопряженные выражения:
lim(n→∞) [(∛n - ∛(n + 1)) * ((∛n)² + ∛n * ∛(n + 1) + (∛(n + 1))²)] / [(∜(n + 1) - ∜n) * ((∜(n + 1))³ + (∜(n + 1))² * ∜n + (∜(n + 1)) * (∜n)² + (∜n)³)] -
Упрощение выражения:
Используя формулу разности кубов и разности четвертых степеней, получим:
lim(n→∞) -1 / [(∜(n + 1))³ + (∜(n + 1))² * ∜n + (∜(n + 1)) * (∜n)² + (∜n)³] -
Вычисление предела:
При n стремящемся к бесконечности, доминирующим членом в знаменателе будет (∜n)³. Таким образом, предел можно записать как:
lim(n→∞) -1 / [(∜n)³ * (1 + ...)]Где многоточие обозначает слагаемые, которые стремятся к нулю при n→∞.
Следовательно, предел равен:
lim(n→∞) -1 / [(∜n)³] = 0
Ответ:
lim(n→∞) (∛n - ∛(n + 1))/(∜(n + 1) - ∜n) = 0
Вывод:
Предел данной последовательности равен нулю.
(Пока оценок нет)
Загрузка...