9 Просмотров

Задание:

Высота равностороннего треугольника равна 39√3см. Найдите его периметр.

Ответ на задание:

Высота равностороннего треугольника делит его на два равнобедренных треугольника, каждый из которых является прямоугольным треугольником со сторонами в отношении 1:√3:2.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна ( a ). Тогда высота (медиана и биссектриса) разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника со сторонами ( ​\( a, a\sqrt{3}, 2a \)​ ).

Теорема Пифагора применяется к одному из этих треугольников, и мы можем записать:

\[ a^2 + (a\sqrt{3})^2 = (2a)^2 \]

Решим уравнение:

\[ a^2 + 3a^2 = 4a^2 \]

\[ 4a^2 = 4a^2 \]

Уравнение выполняется для любого положительного значения ( a ), что соответствует стороне равностороннего треугольника.

Таким образом, периметр равностороннего треугольника равен ( P = 3a ):

\[ P = 3 \cdot 2a = 6a \]

Теперь найдем значение ( a ) по высоте ( ​\( h = 39\sqrt{3} \)​ ):

\[ a = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{39\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 39 \]

Таким образом, периметр равностороннего треугольника равен:

\[ P = 6a = 6 \cdot 39 = 234 \]

Ответ: Периметр равностороннего треугольника равен 234 см.