77 Просмотров

Задание:

Вероятность падения с одного выстрела 0,7. Пять мишеней. С какой вероятностью он поразит 1 из 5, 2 из 5, 3 из 5, 4 из 5, 5 из 5?

Ответ на задание:

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (выстрелов), и каждый выстрел может быть успешным (попаданием) или неудачным (промахом).

Вероятность попадания в одну мишень (успех) равна 0,7, а вероятность промаха равна 0,3. Количество испытаний (выстрелов) равно 5.

Тогда вероятность того, что будет ровно ( k ) попаданий из 5, задается формулой биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• ( ​\( C_n^k \)​ ) – число сочетаний из ( n ) по ( k ) (количество способов выбрать ( k ) успехов из ( n )),
• ( p ) – вероятность успеха,
• ( n ) – количество испытаний (выстрелов),
• ( k ) – количество успехов.

Давайте вычислим вероятности для каждого случая:

1. Ровно 1 попадание:

   \[ P(X = 1) = C_5^1 \cdot (0,7)^1 \cdot (0,3)^4 \]

2. Ровно 2 попадания:

   \[ P(X = 2) = C_5^2 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^3 \]

3. Ровно 3 попадания:

   \[ P(X = 3) = C_5^3 \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^2 \]

4. Ровно 4 попадания:

   \[ P(X = 4) = C_5^4 \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^1 \]

5. Ровно 5 попаданий:

   \[ P(X = 5) = C_5^5 \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^0 \]

Теперь вычислим эти значения:

1. Ровно 1 попадание:

   \[ P(X = 1) = 5 \cdot (0,7)^1 \cdot (0,3)^4 \]

2. Ровно 2 попадания:

   \[ P(X = 2) = 10 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^3 \]

3. Ровно 3 попадания:

   \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^2 \]

4. Ровно 4 попадания:

   \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^1 \]

5. Ровно 5 попаданий:

   \[ P(X = 5) = 1 \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^0 \]

Давайте вычислим численные значения для каждого случая:

1. Ровно 1 попадание:

   \[ P(X = 1) = 5 \cdot (0,7)^1 \cdot (0,3)^4 \approx 0,3087 \]

2. Ровно 2 попадания:

   \[ P(X = 2) = 10 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^3 \approx 0,36015 \]

3. Ровно 3 попадания:

   \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^2 \approx 0,1323 \]

4. Ровно 4 попадания:

   \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^1 \approx 0,02835 \]

5. Ровно 5 попаданий:

   \[ P(X = 5) = 1 \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^0 \approx 0,00243 \]

Таким образом, мы получили вероятности для каждого случая: 1 попадание, 2 попадания, 3 попадания, 4 попадания и 5 попаданий из 5 выстрелов.

Если вы хотите выразить вероятности в виде процентов, то результаты будут следующими:

1. Ровно 1 попадание: примерно 30.87%
2. Ровно 2 попадания: примерно 36.02%
3. Ровно 3 попадания: примерно 13.23%
4. Ровно 4 попадания: примерно 2.84%
5. Ровно 5 попаданий: примерно 0.24%