Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 70 км и после стоянки возвращается в пункт отправления
16 Просмотров
Задание:
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 70 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в неподвижно воде равна 18 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 12 часов после отплытия из него.\
Ответ на задание:
Обозначим скорость течения реки как ( \( v_r \) ).
Теплоход движется по течению реки со скоростью течения ( \( v_{\text{теплохода}} + v_r \) ) и возвращается против течения реки со скоростью ( \( v_{\text{теплохода}} – v_r \)), где ( \( v_{\text{теплохода}} \)) – скорость теплохода в неподвижной воде.
Теплоход проходит 70 км по течению и 70 км против течения за разное время. Разность времени движения составляет 12 часов (возвращается через 12 часов после отплытия).
Используем формулу расстояния: ( \( \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \) ).
Поэтому для движения по течению: ( \( 70 = (18 + v_r) \times t_1 \) ), где ( \( t_1 \) ) – время движения по течению.
Для движения против течения: ( \( 70 = (18 – v_r) \times t_2 \) ), где ( \( t_2 \) ) – время движения против течения.
Также, по условию, ( \( t_1 – t_2 = 12 \) ) часов.
Решим эту систему уравнений:
Из первого уравнения выразим ( \( t_1 \) ):
\[ t_1 = \frac{70}{18 + v_r} \]
Из второго уравнения выразим ( \( t_2 \) ):
\[ t_2 = \frac{70}{18 – v_r} \]
Теперь используем условие ( \( t_1 – t_2 = 12 \) ) часов:
\[ \frac{70}{18 + v_r} – \frac{70}{18 – v_r} = 12 \]
Чтобы решить это уравнение, выполним дальнейшие математические шаги:
\[ \frac{70(18 – v_r) – 70(18 + v_r)}{(18 + v_r)(18 – v_r)} = 12 \]
\[ \frac{70 * 18 – 70v_r – 70 * 18 – 70v_r}{(18 + v_r)(18 – v_r)} = 12 \]
\[ \frac{-140v_r}{(18 + v_r)(18 – v_r)} = 12 \]
\[ -140v_r = 12(18^2 – v_r^2) \]
\[ -140v_r = 12 * 324 – 12v_r^2 \]
\[ 12v_r^2 – 140v_r – 12 * 324 = 0 \]
\[ v_r^2 – \frac{140}{12}v_r – 27 = 0 \]
\[ v_r^2 – \frac{35}{3}v_r – 27 = 0 \]
\[ v_r^2 – \frac{35}{3}v_r = 27 \]
Завершим квадратное уравнение, используя формулу для решения квадратного уравнения ( \( ax^2 + bx + c = 0 \) ):
\( v_r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)
Где ( a = 1 ), ( \( b = -\frac{35}{3} \) ) и ( c = -27 ):
\( v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{35}{3}\right)^2 – 4(1)(-27)}}{2(1)} \)
\( v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \sqrt{\frac{1225}{9} + 108}}{2} \)
\[ v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \sqrt{\frac{1225}{9} + \frac{972}{9}}}{2} \]
\[ v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \sqrt{\frac{2197}{9}}}{2} \]
\[ v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \frac{47}{3}}{2} \]
Таким образом, получаем два возможных значения ( \( v_r \) ):
\[ v_r = \frac{35 + 47}{6} = \frac{82}{6} = 13.67 \text{ км/ч} \]
или
\[ v_r = \frac{35 – 47}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \text{ км/ч} \]
Так как скорость течения не может быть отрицательной, то скорость течения реки равна приблизительно 13.67 км/ч.