4 Просмотров

Задание:

Решить уравнение:\( x^3-3x^2-16x+48=0 \)

Ответ на задание:

Разложение на множители методом группировки

Для решения этого кубического уравнения воспользуемся методом группировки членов.

1. Группируем члены: ​\( x^3 – 3x^2 – 16x + 48 = (x^3 – 3x^2) + (-16x + 48) \)​

2. Выносим общий множитель из каждой группы: ​\( = x^2(x – 3) – 16(x – 3) \)​

3. Выносим общий множитель (x – 3): = ​\( (x – 3)(x^2 – 16) \)​

4. Разность квадратов: = (x – 3)(x + 4)(x – 4)

Находим корни уравнения

Теперь, когда мы разложили многочлен на множители, приравниваем каждый множитель к нулю:

• ​\( x – 3 = 0 => x = 3 \)​
• ​\( x + 4 = 0 => x = -4 \)​
• ​\( x – 4 = 0 => x = 4 \)​

Ответ

Корни уравнения ​\( x^3 – 3x^2 – 16x + 48 = 0 \)​:

• x = 3
• x = -4
• x = 4

Таким образом, решением уравнения являются числа 3, -4 и 4.

Пояснение к методу: Метод группировки позволяет свести решение кубического уравнения к решению более простых уравнений первой и второй степени. В данном случае, после разложения на множители, мы получили три линейных уравнения, которые легко решить.