Решите уравнение и неравенство
10 Просмотров
Задание:
ВАРИАНТ 1
-
Решите уравнение:
- 4^(3x-17) = 64
- (1/2)^(2-3x) = 4^(x+7)
- 5^(x+1) + 5^(x-1) = 130
- 9^x – 7*3^x – 18 = 0
- 20^(x^2+3x-4) = 1
-
Решите неравенство:
- (1/7)^(4x+8) >= 49^(3-x)
- 3^(4x-7) < 27^(x+8)
- 6^(x^2+x-4) <= 36
- 2^(x+1) + 2^(x+2) > 96
- (3/4)^(7x+4) <= 9/16
-
Решить систему уравнений:
{ x + y = -2
{ 4x + 5y = 16
Ответ на задание:
1. Решите уравнение:
Уравнение 1: 4^(3x-17) = 64
- Преобразуем 64 в степень 4: 64 = 4^3
- Приравниваем степени: 4^(3x-17) = 4^3
- Решаем уравнение: 3x – 17 = 3
- 3x = 20
- x = 20/3
Уравнение 2: (1/2)^(2-3x) = 4^(x+7)
- Преобразуем 1/2 и 4 в степени 2: (1/2) = 2^(-1), 4 = 2^2
- Подставляем: 2^(-2+3x) = 2^(2x+14)
- Приравниваем степени: -2+3x = 2x+14
- Решаем уравнение: x = 16
Уравнение 3: 5^(x+1) + 5^(x-1) = 130
- Выносим общий множитель: 5^x * (5 + 1/5) = 130
- Упрощаем: 5^x * (26/5) = 130
- Решаем уравнение: 5^x = 25
- x = 2
Уравнение 4: 9^x – 7*3^x – 18 = 0
- Заменим 9^x на (3^x)^2: (3^x)^2 – 7*3^x – 18 = 0
- Вводим замену t = 3^x: t^2 – 7t – 18 = 0
- Решаем квадратное уравнение: (t-9)(t+2) = 0
- t = 9 или t = -2
- Возвращаемся к замене: 3^x = 9 или 3^x = -2
- 3^x = -2 не имеет решений в действительных числах
- 3^x = 9 => x = 2
Уравнение 5: 20^(x^2+3x-4) = 1
- Любое число в нулевой степени равно 1: 20^0 = 1
- Приравниваем показатели степеней: x^2+3x-4 = 0
- Решаем квадратное уравнение: (x+4)(x-1) = 0
- x = -4 или x = 1
Ответы:
- Уравнение 1: x = 20/3
- Уравнение 2: x = 16
- Уравнение 3: x = 2
- Уравнение 4: x = 2
- Уравнение 5: x = -4 или x = 1
2. Решите неравенство:
Неравенство 1: (1/7)^(4x+8) >= 49^(3-x)
- Приведем основания к общему знаменателю:
- (7^-1)^(4x+8) >= 7^2(3-x)
- 7^(-4x-8) >= 7^(6-2x)
- Поскольку основания равны, сравниваем показатели степени:
- -4x – 8 >= 6 – 2x
- -2x >= 14
- x <= -7
- Ответ: x ∈ (-∞; -7]
Неравенство 2: 3^(4x-7) < 27^(x+8)
- Приведем основания к общему знаменателю:
- 3^(4x-7) < 3^3(x+8)
- 4x – 7 < 3x + 24
- x < 31
- Ответ: x ∈ (-∞; 31)
Неравенство 3: 6^(x^2+x-4) <= 36
- Представим 36 как 6^2:
- 6^(x^2+x-4) <= 6^2
- Сравниваем показатели степени:
- x^2 + x – 4 <= 2
- x^2 + x – 6 <= 0
- Решаем квадратное неравенство методом интервалов (или другим удобным способом):
- Корни уравнения x^2 + x – 6 = 0: x1 = -3, x2 = 2
- Интервалы: (-∞; -3], [-3; 2], [2; +∞)
- Проверяем знак выражения x^2 + x – 6 на каждом интервале.
- Ответ: x ∈ [-3; 2]
Неравенство 4: 2^(x+1) + 2^(x+2) > 96
- Вынесем общий множитель 2^(x+1):
- 2^(x+1)(1 + 2) > 96
- 2^(x+1) * 3 > 96
- 2^(x+1) > 32
- 2^(x+1) > 2^5
- Сравниваем показатели степени:
- x + 1 > 5
- x > 4
- Ответ: x ∈ (4; +∞)
Неравенство 5: (3/4)^(7x+4) <= 9/16
- Приведем основания к общему знаменателю:
- (4/3)^(-7x-4) <= (4/3)^2
- Сравниваем показатели степени:
- -7x – 4 <= 2
- -7x <= 6
- x >= -6/7
- Ответ: x ∈ [-6/7; +∞)
3. Решить систему уравнений:
Данная система уравнений может быть решена несколькими способами. Рассмотрим два наиболее распространенных:
1. Метод подстановки
-
Шаг 1: Выражаем одну переменную из одного уравнения. Из первого уравнения выразим x:
x = -2 – y -
Шаг 2: Подставляем полученное выражение в другое уравнение. Подставим x в второе уравнение: 4(-2 – y) + 5y = 16
-
Шаг 3: Решаем получившееся уравнение с одной переменной. -8 – 4y + 5y = 16 y = 24
-
Шаг 4: Подставляем найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и находим значение второй переменной. Подставим y = 24 в x = -2 – y: x = -2 – 24 x = -26
Ответ: Решением системы уравнений является пара чисел (-26, 24).
2. Метод сложения
-
Шаг 1: Умножаем одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение на -4: -4x – 4y = 8
-
Шаг 2: Складываем почленно получившиеся уравнения. (-4x – 4y) + (4x + 5y) = 8 + 16 y = 24
-
Шаг 3: Находим значение второй переменной, подставив найденное значение в одно из исходных уравнений. Дальнейшие действия аналогичны методу подстановки.
Ответ: Решением системы уравнений является пара чисел (-26, 24).
Оба метода приводят к одному и тому же ответу: x = -26, y = 24.
Проверка: Подставим найденные значения x и y в исходную систему уравнений:
- -26 + 24 = -2 (верно)
- 4*(-26) + 5*24 = 16 (верно)