5 Просмотров

Задание:

При каком значении параметра а сумма обратных величин (1/x) корней уравнения ​\( 2x^2-2ax+a^2-2=0 \)​ равна 2/3?

Ответ на задание:

Давайте решим уравнение и найдем сумму обратных величин корней.

Уравнение имеет вид: (​\( 2x^2 – 2ax + a^2 – 2 = 0 \)​).

Дискриминант этого уравнения равен: (​\( \Delta = b^2 – 4ac \)​).

Для уравнения (​\( ax^2 + bx + c = 0 \)​) с коэффициентами (a), (b), (c), дискриминант вычисляется как:

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

В данном случае (​\( a = 2 \)​), (​\( b = -2a = -4a \)​), и (​\( c = a^2 – 2 \)​).

Теперь вычислим дискриминант:

\[ \Delta = (-4a)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (a^2 – 2) \]

\[ \Delta = 16a^2 – 8a^2 + 32 \]

\[ \Delta = 8a^2 + 32 \]

Теперь, используя формулу корней квадратного уравнения, мы можем найти корни (​\( x_1 \)​) и (​\( x_2 \)​):

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{4a \pm \sqrt{8a^2 + 32}}{4} \]

\[ x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{2a^2 + 8}}{2} \]

Теперь мы знаем корни уравнения. Сумма обратных величин корней равна:

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} \]

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{(a + \sqrt{2a^2 + 8}) + (a – \sqrt{2a^2 + 8})}{a \cdot (a + \sqrt{2a^2 + 8})(a – \sqrt{2a^2 + 8})} \]

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{2a}{a \cdot (a^2 – (2a^2 + 8))} \]

Теперь, учитывая, что сумма обратных величин равна ( ​\( \frac{2}{3} \)​ ), мы можем записать уравнение:

\[ \frac{2}{3} = \frac{2a}{a \cdot (a^2 – (2a^2 + 8))} \]

Решив это уравнение относительно параметра (a), мы найдем значение (a), при котором сумма обратных величин корней равна ( ​\( \frac{2}{3} \)​).

Итак, продолжим решение уравнения:

\[ \frac{2}{3} = \frac{2a}{a \cdot (a^2 – (2a^2 + 8))} \]

Упростим выражение в знаменателе:

\[ \frac{2}{3} = \frac{2a}{a \cdot (-a^2 + 8)} \]

Сократим (a) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{2}{3} = \frac{2}{-a^2 + 8} \]

Теперь умножим обе стороны на (​\( -a^2 + 8 \)​):

\[ 2(-a^2 + 8) = 3 \cdot 2 \]

Раскроем скобки:

\[ -2a^2 + 16 = 6 \]

Припишем все члены уравнения на одну сторону:

\[ -2a^2 – 6 + 16 = 0 \]

\[ -2a^2 + 10 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ a^2 – 5 = 0 \]

\[ a^2 = 5 \]

\[ a = \pm \sqrt{5} \]

Таким образом, два возможных значения параметра (a), при которых сумма обратных величин корней равна ( ​\( \frac{2}{3} \)​ ), это (​\( a = \sqrt{5} \)​) и (​\( a = -\sqrt{5} \)​).