Площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 24
275 Просмотров
Задание:
Площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 24, равна π/10. Найди длину дуги окружности, ограничивающей этот сектор.
Ответ на задание:
Для решения этой задачи используется следующая формула:
\[ S = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2 \]
где (\( S \)) – площадь сектора, (\( \theta \)) – центральный угол в градусах, (r) – радиус окружности.
Из условия задачи известно, что (\( S = \frac{{\pi}}{{10}} \)) и (\( \theta = 24^\circ \)).
Чтобы найти длину дуги окружности, ограничивающей этот сектор, используем следующую формулу:
\[ L = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi r \]
Теперь мы можем решить задачу, подставив известные значения в формулы.
Для нахождения длины дуги окружности определенной формулой
\[ L = \frac{{ \theta}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi r \]
Мы уже знаем, что (\( \theta = 24^\circ \)) и (\( S = \frac{{\pi}}{{10}} \)).
Мы также знаем, что
\[ S = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2 \]
Подставив известные значения, получим:
\[ \frac{{\pi}}{{10}} = \frac{{24^\circ}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2 \]
Отсюда можно найти радиус (r):
\[ r^2 = \frac{{\frac{{\pi}}{{10}}}}{{\frac{{24^\circ}}{{360^\circ}} \cdot \pi}} \]
\[ r^2 = \frac{{\pi}}{{10}} \cdot \frac{{360^\circ}}{{24^\circ \cdot \pi}} \]
\[ r^2 = \frac{{12^\circ}}{{\pi}} \]
\[ r = \sqrt{\frac{{12^\circ}}{{\pi}}} \]
Теперь, подставив найденное значение радиуса в формулу для длины дуги окружности, получим:
\[ L = \frac{{24^\circ}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{{12^\circ}}{{\pi}}} \]
\[ L = \frac{24}{360} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{12}{\pi}} = \frac{1}{15} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{12}{\pi}} = \frac{2\pi}{15} \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} = \frac{2\pi}{15} \cdot \sqrt{\frac{12}{\pi}} = \frac{2\pi}{15} \cdot \sqrt{\frac{4 \cdot 3}{\pi}} = \frac{2\pi}{15} \cdot 2\sqrt{\frac{3}{\pi}} = \frac{4\pi}{15} \cdot \sqrt{\frac{3}{\pi}} = \frac{4\sqrt{3}}{15} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{4\sqrt{3\pi}}{15} \]