358 Просмотров

Задание:

Площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 24, равна π/10. Найди длину дуги окружности, ограничивающей этот сектор.

Ответ на задание:

Для решения этой задачи используется следующая формула:

\[ S = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2 \]

где (\( S \)) – площадь сектора, (\( \theta \)) – центральный угол в градусах, (r) – радиус окружности.

Из условия задачи известно, что (​\( S = \frac{{\pi}}{{10}} \)​) и (​\( \theta = 24^\circ \)​).

Чтобы найти длину дуги окружности, ограничивающей этот сектор, используем следующую формулу:

\[ L = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi r \]

Теперь мы можем решить задачу, подставив известные значения в формулы.

Для нахождения длины дуги окружности определенной формулой

\[ L = \frac{{ \theta}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi r \]

Мы уже знаем, что (​\( \theta = 24^\circ \)​) и (​\( S = \frac{{\pi}}{{10}} \)​).

Мы также знаем, что

\[ S = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2 \]

Подставив известные значения, получим:

\[ \frac{{\pi}}{{10}} = \frac{{24^\circ}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2 \]

Отсюда можно найти радиус (r):

\[ r^2 = \frac{{\frac{{\pi}}{{10}}}}{{\frac{{24^\circ}}{{360^\circ}} \cdot \pi}} \]

\[ r^2 = \frac{{\pi}}{{10}} \cdot \frac{{360^\circ}}{{24^\circ \cdot \pi}} \]

\[ r^2 = \frac{{12^\circ}}{{\pi}} \]

\[ r = \sqrt{\frac{{12^\circ}}{{\pi}}} \]

Теперь, подставив найденное значение радиуса в формулу для длины дуги окружности, получим:

\[ L = \frac{{24^\circ}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{{12^\circ}}{{\pi}}} \]

\[ L = \frac{24}{360} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{12}{\pi}} = \frac{1}{15} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{12}{\pi}} = \frac{2\pi}{15} \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} = \frac{2\pi}{15} \cdot \sqrt{\frac{12}{\pi}} = \frac{2\pi}{15} \cdot \sqrt{\frac{4 \cdot 3}{\pi}} = \frac{2\pi}{15} \cdot 2\sqrt{\frac{3}{\pi}} = \frac{4\pi}{15} \cdot \sqrt{\frac{3}{\pi}} = \frac{4\sqrt{3}}{15} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{4\sqrt{3\pi}}{15} \]