Отрезки АД и ВС пересекаются в точке К
4 Просмотров
Задание:
Отрезки АД и ВС пересекаются в точке К так, что АК = 12см, КД = 3см, ВК = 20см, КС = 5см, < КДС = 60, < ДКС = 50. Найдите величину < АВК.
Варианты ответов: 1) 60 2) 50 3) 70 4) 80
Ответ на задание:
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольников и углами, образованными пересекающимися отрезками.
Итак, у нас есть треугольник АКВ, и мы ищем величину угла < АВК.
-
Используем теорему косинусов в треугольнике АКВ:
\[ VK^2 = AK^2 + AV^2 – 2 \cdot AK \cdot AV \cdot \cos(\angle A) \]
-
Подставим известные значения:
\[ 20^2 = 12^2 + AV^2 – 2 \cdot 12 \cdot AV \cdot \cos(\angle A) \]
-
Решим уравнение относительно ( \( AV^2 \) ):
\[ 400 = 144 + AV^2 – 24AV \cos(\angle A) \]
\[ AV^2 – 24AV \cos(\angle A) = 256 \]
-
Теперь рассмотрим треугольник КДС. Мы знаем, что ( \( \angle КДС = 60^\circ \)) и ( \( \angle ДКС = 50^\circ \)). Также, ( KD = 3 ) и ( KS = 5 ).
-
Мы можем использовать теорему косинусов для треугольника КДС:
\[ KS^2 = KD^2 + DS^2 – 2 \cdot KD \cdot DS \cdot \cos(\angle КДС) \]
-
Подставим известные значения:
\[ 5^2 = 3^2 + DS^2 – 2 \cdot 3 \cdot DS \cdot \cos(60^\circ) \]
-
Решим уравнение относительно (\( DS^2 \)):
\[ 25 = 9 + DS^2 – 3DS \]
\[ DS^2 – 3DS = 16 \]
-
Теперь мы знаем ( \( DS^2 \) ), а также ( VK = 20 ), ( AK = 12 ), и ( KD = 3 ). Мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике ВКД:
\[ VK^2 = KD^2 + DS^2 – 2 \cdot KD \cdot DS \cdot \cos(\angle ВКД) \]
-
Подставим значения:
\[ 20^2 = 3^2 + DS^2 – 2 \cdot 3 \cdot DS \cdot \cos(\angle ВКД) \]
-
Решим уравнение относительно ( \( \cos(\angle ВКД) \) ):
\[ 400 = 9 + DS^2 – 6DS \]
\[ DS^2 – 6DS = 391 \]
-
Теперь, зная ( \( DS^2 \) ) и ( \( DS^2 – 3DS \) ), мы можем решить систему уравнений и найти ( DS ) и ( AV ).
-
Наконец, используем теорему косинусов в треугольнике АВК:
\[ AV^2 = AK^2 + VK^2 – 2 \cdot AK \cdot VK \cdot \cos(\angle АВК) \]
-
Подставим значения:
\[ AV^2 = 12^2 + 20^2 – 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \cos(\angle АВК) \]
-
Решим уравнение относительно ( \( \cos(\angle АВК) \)):
\[ AV^2 = 144 + 400 – 480 \cdot \cos(\angle АВК) \]
-
Наконец, найдем ( \( \angle АВК \) ) с использованием арккосинуса:
\[ \cos(\angle АВК) = \frac{144 + 400 – AV^2}{480} \]
-
Найденное значение (\( \cos(\angle АВК) \)) преобразуем в угол ( \( \angle АВК \)).
Мы знаем, что в треугольнике КДС угол К = 60°, угол Д = 50°, КД = 3 см и КС = 5 см.
Теперь применим теорему синусов к треугольнику КДС:
\[ \frac{KD}{\sin(\angle KDS)} = \frac{KS}{\sin(\angle K)} \]
Подставляем известные значения:
\[ \frac{3}{\sin(50^\circ)} = \frac{5}{\sin(60^\circ)} \]
Решаем уравнение для нахождения угла KDS:
\[ \sin(\angle KDS) = \frac{3 \cdot \sin(60^\circ)}{5} \]
\[ \angle KDS = \arcsin\left(\frac{3 \cdot \sin(60^\circ)}{5}\right) \]
\[ \angle KDS \approx 34.83^\circ \]
Теперь, чтобы найти угол АВК, мы можем использовать угол КDS и информацию об угле К в треугольнике АКВ.
Угол АВК = 180° – угол К – угол КDS Угол АВК = 180° – 60° – 34.83° Угол АВК ≈ 85.17°
Таким образом, угол АВК близок к 85 градусам. Вариант ответа, который наиболее близок, это 80°.