Один сказочный король всегда следовал советам советника
459 Просмотров
Задание:
Один сказочный король всегда следовал советам советника. Однажды король решил, что лучше иметь двух советников, чем одного. Если советники советуют одного и то же, то нужно следовать их совету. Если советники расходятся, то нужно принимать решение бросая монету. Будем считать, что каждый из советников даёт независимо от другого верный совет с вероятностью p. Правда ли, что, имея двух советников, король будет чаще принимать верные решения, чем имея одного? Какова вероятность принятия верного решения при двух советниках?
Ответ на задание:
Давайте рассмотрим вероятность того, что король примет верное решение при одном советнике и при двух советниках.
-
Один советник:
- Вероятность того, что советник даст верный совет: (p).
- Вероятность того, что советник даст неверный совет: (1 – p).
Таким образом, вероятность принятия верного решения при одном советнике равна (p).
-
Два советника:
- Вероятность того, что оба советника дадут верные советы: (\( p \times p = p^2 \)).
- Вероятность того, что хотя бы один из советников даст неверный совет: (\( 1 – p^2 \)).
В соответствии с правилом короля, если советы совпадают, то король следует им. Если советы различаются, то король бросает монету с вероятностью 0.5 принять тот или иной совет.
Таким образом, вероятность принятия верного решения при двух советниках равна:
\[ P(\text{верное решение}) = P(\text{оба совета верные}) + P(\text{разные советы}) \times 0.5 \]
\[ = p^2 + (1 – p^2) \times 0.5 \]
Теперь можно сравнить вероятности принятия верного решения при одном и двух советниках.
Таким образом, даже если (p) достаточно близко к 1 (вероятность верного совета высока), добавление второго советника не обязательно увеличит вероятность принятия верного решения, если они могут давать разные советы.