15 Просмотров

Задание:

Найти собственные значения λ1, λ2 и нормированные собственные векторы матрицы A Матрица

\[ A = \left[ {\begin{array}{cc} 9 & -6 \\ 6 & -3 \\ \end{array} } \right] \]

Ответ на задание:

Для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы ( A ), решим характеристическое уравнение:

\[ \text{det}(A – \lambda I) = 0 \]

Где ( ​\( \lambda \)​ ) – собственное значение, ( I ) – единичная матрица.

Для матрицы ( A ):

\[ \text{det}\left( \begin{bmatrix} 9-\lambda & -6 \ 6 & -3-\lambda \end{bmatrix} \right) = 0 \]

Вычислим определитель:

\[ (9 – \lambda)(-3 – \lambda) – (-6) \cdot (6) = 0 \]

Решив это уравнение, найдем значения ( ​\( \lambda \)​), которые будут собственными значениями матрицы ( A ).

\[ (9 – \lambda)(-3 – \lambda) + 36 = 0 \]

\[ \lambda^2 – 6\lambda + 9 + 36 = 0 \]

\[ \lambda^2 – 6\lambda + 45 = 0 \]

Используем квадратное уравнение для нахождения корней:

\[ \lambda = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 – 4 \cdot 45}}{2} \]

\[ \lambda = \frac{6 \pm \sqrt{-24}}{2} \]

Корни будут комплексными числами:

\[ \lambda_1 = 3 + 3i \]

\[ \lambda_2 = 3 – 3i \]

Теперь найдем нормированные собственные векторы для каждого ( ​\( \lambda \)​ ).

Для ( ​\( \lambda_1 = 3 + 3i \)​ ):

​\( A – \lambda_1 I = \begin{bmatrix} 6-3i & -6 \ 6 & -6-3i \end{bmatrix} \)​

Найдем собственный вектор ( ​\( \mathbf{v}_1 \)​):

\[ \begin{bmatrix} 6-3i & -6 \ 6 & -6-3i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \mathbf{0} \]

Решив систему уравнений, получим (​\( \mathbf{v}_1 \)​ ). Аналогично найдем для ( ​\( \lambda_2 = 3 – 3i \)​).

Продолжим решение для (​\( \lambda_1 = 3 + 3i \)​ ):

\[ \begin{bmatrix} 6-3i & -6 \ 6 & -6-3i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} \]

Раскрываем умножение:

\[ (6-3i)x_1 – 6x_2 = 0 \]

\[ 6x_1 – (6+3i)x_2 = 0 \]

Это приводит к системе уравнений:

\[ (6-3i)x_1 – 6x_2 = 0 \]

\[ 6x_1 – (6+3i)x_2 = 0 \]

Решая эту систему, мы найдем собственный вектор (\( \mathbf{v}_1 \)) для ( ​\( \lambda_1 = 3 + 3i \)​).

Теперь проделаем аналогичные шаги для ( ​\( \lambda_2 = 3 – 3i \)​ ):

\[ A – \lambda_2 I = \begin{bmatrix} 6+3i & -6 \ 6 & -6+3i \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} 6+3i & -6 \ 6 & -6+3i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} \]

Это приведет к другой системе уравнений, и решив ее, мы найдем собственный вектор ( ​\( \mathbf{v}_2 \)​ ) для ( ​\( \lambda_2 = 3 – 3i \)​).

Итак, собственные значения:

\[ \lambda_1 = 3 + 3i \]

\[ \lambda_2 = 3 – 3i \]

Собственные векторы ( ​\( \mathbf{v}_1 \)​ ) и ( ​\( \mathbf{v}_2 \)​ ) будут соответственно нормированными собственными векторами для ( ​\( \lambda_1 \)​) и ( ​\( \lambda_2 \)​ ).