Найти собственные значения λ1, λ2 и нормированные собственные векторы матрицы
18 Просмотров
Задание:
Найти собственные значения λ1, λ2 и нормированные собственные векторы матрицы A Матрица
A = \left[ {\begin{array}{cc} 9 & -6 \\ 6 & -3 \\ \end{array} } \right]
Ответ на задание:
Для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы ( A ), решим характеристическое уравнение:
\text{det}(A – \lambda I) = 0
Где ( \lambda ) – собственное значение, ( I ) – единичная матрица.
Для матрицы ( A ):
\text{det}\left( \begin{bmatrix} 9-\lambda & -6 \ 6 & -3-\lambda \end{bmatrix} \right) = 0
Вычислим определитель:
(9 – \lambda)(-3 – \lambda) – (-6) \cdot (6) = 0
Решив это уравнение, найдем значения ( \lambda ), которые будут собственными значениями матрицы ( A ).
(9 – \lambda)(-3 – \lambda) + 36 = 0
\lambda^2 – 6\lambda + 9 + 36 = 0
\lambda^2 – 6\lambda + 45 = 0
Используем квадратное уравнение для нахождения корней:
\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 – 4 \cdot 45}}{2}
\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{-24}}{2}
Корни будут комплексными числами:
\lambda_1 = 3 + 3i
\lambda_2 = 3 – 3i
Теперь найдем нормированные собственные векторы для каждого ( \lambda ).
Для ( \lambda_1 = 3 + 3i ):
A – \lambda_1 I = \begin{bmatrix} 6-3i & -6 \ 6 & -6-3i \end{bmatrix}
Найдем собственный вектор ( \mathbf{v}_1 ):
\begin{bmatrix} 6-3i & -6 \ 6 & -6-3i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \mathbf{0}
Решив систему уравнений, получим ( \mathbf{v}_1 ). Аналогично найдем для ( \lambda_2 = 3 – 3i ).
Продолжим решение для ( \lambda_1 = 3 + 3i ):
\begin{bmatrix} 6-3i & -6 \ 6 & -6-3i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}
Раскрываем умножение:
(6-3i)x_1 – 6x_2 = 0
6x_1 – (6+3i)x_2 = 0
Это приводит к системе уравнений:
(6-3i)x_1 – 6x_2 = 0
6x_1 – (6+3i)x_2 = 0
Решая эту систему, мы найдем собственный вектор ( \mathbf{v}_1 ) для ( \lambda_1 = 3 + 3i ).
Теперь проделаем аналогичные шаги для ( \lambda_2 = 3 – 3i ):
A – \lambda_2 I = \begin{bmatrix} 6+3i & -6 \ 6 & -6+3i \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 6+3i & -6 \ 6 & -6+3i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}
Это приведет к другой системе уравнений, и решив ее, мы найдем собственный вектор ( \mathbf{v}_2 ) для ( \lambda_2 = 3 – 3i ).
Итак, собственные значения:
\lambda_1 = 3 + 3i
\lambda_2 = 3 – 3i
Собственные векторы ( \mathbf{v}_1 ) и ( \mathbf{v}_2 ) будут соответственно нормированными собственными векторами для ( \lambda_1 ) и ( \lambda_2 ).