Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке: f(x) = (1-x+x^2)/(1+x-x^2), [0, 1]
3 Просмотров
Задание:
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:
\( f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2} \), [0, 1]
Ответ на задание:
Для нахождения наибольших и наименьших значений функции ( \( f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2} \) ) на отрезке ([0, 1]), следует выполнить следующие шаги:
- Найти критические точки функции внутри интервала (0, 1), решив уравнение (\( f'(x) = 0 \)).
- Проверить значения функции в найденных критических точках и на концах интервала ([0, 1]).
- Найти максимальное и минимальное значения.
Давайте выполним эти шаги:
1. Нахождение критических точек:
\[ f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2} \]
\( f'(x) \) – производная функции.
\[ f'(x) = \frac{(1+x-x^2)(-1) – (1-x+x^2)(1-2x)}{(1+x-x^2)^2} \]
Решим (\( f'(x) = 0 \)):
\[ \frac{(1+x-x^2)(-1) – (1-x+x^2)(1-2x)}{(1+x-x^2)^2} = 0 \]
Решив это уравнение, найдем критические точки (x).
2. Проверка значений функции:
Вычислим значения функции в найденных критических точках и на концах интервала ([0, 1]):
- (\( f(0) \))
- (\( f(\text{критическая точка 1}) \))
- (\( f(\text{критическая точка 2}) \))
- (\( f(1) \))
3. Нахождение максимального и минимального значений:
Сравним полученные значения и определим, какие из них являются максимальными и минимальными на интервале ([0, 1]).
Как только мы найдем критические точки и вычислим значения функции в них и на концах интервала, мы сможем определить наибольшие и наименьшие значения функции на заданном отрезке.
Давайте продолжим, решив уравнение для нахождения критических точек:
\[ (1+x-x^2)(-1) – (1-x+x^2)(1-2x) = 0 \]
Раскроем скобки и упростим выражение:
\[ -1 – x + x^2 + 1 – x + x^2(1-2x) = 0 \]
\[ -2x^2 + 2x^3 = 0 \]
\[ 2x^2(x-1) = 0 \]
Таким образом, у нас две критические точки: (x = 0) и (x = 1).
Теперь вычислим значения функции в этих точках и на концах интервала:
- (\( f(0) \))
- (\( f(1) \))
\[ f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2} \]
- (\( f(0) = \frac{1-0+0^2}{1+0-0^2} = 1 \))
- (\( f(1) = \frac{1-1+1^2}{1+1-1^2} = 0 \))
Таким образом, получаем следующие значения:
- (\( f(0) = 1 \))
- (\( f(1) = 0 \))
Так как у нас всего две критические точки и они являются концами интервала, то на этом интервале нет других точек, где функция может достигнуть экстремума. Таким образом, максимальное значение функции (\( f(x) \)) на интервале ([0, 1]) равно 1 (в точке (x = 0)), а минимальное значение равно 0 (в точке (x = 1)).