12 Просмотров

Задание:

Найдите область определения функции y=1/√(x+7)(x-9)

Ответ на задание:

Чтобы найти область определения функции ( ​\( y = \frac{1}{\sqrt{(x+7)(x-9)}} \)​ ), необходимо учесть, что в знаменателе у нас корень. Чтобы корень был действительным числом, выражение под ним (\( (x+7)(x-9) \)) должно быть больше или равно нулю, исключив значения, при которых это выражение равно нулю (так как в знаменателе не может быть нуля).

\[ (x+7)(x-9) \geq 0 \]

Чтобы решить это неравенство, можно использовать метод интервалов или график функции.

1. Найти корни уравнения ( ​\( (x+7)(x-9) = 0 \)​ ):

   (​\( x+7 = 0 \)​) или (​\( x-9 = 0 \)​)

   Получаем: (​\( x = -7 \)​) или (​\( x = -7 \)​x = 9).

2. Построить интервалы на числовой прямой:

   |—–|—–|—–|

      -7    0     9

3. Выбрать тестовую точку в каждом из трех интервалов: (x < -7), (-7 < x < 9), (x > 9).

   • Выбираем (x = -8) для интервала (x < -7).
   • Выбираем (x = 0) для интервала (-7 < x < 9).
   • Выбираем (x = 10) для интервала (x > 9).

4. Проверить знак в каждом интервале:

   • Для (x = -8): (​\( (-8+7)(-8-9) = (-1)(-17) > 0 \)​) – положительное.
   • Для (x = 0): (​\( (0+7)(0-9) = (7)(-9) < 0 \)​) – отрицательное.
   • Для (x = 10): (​\( (10+7)(10-9) = (17)(1) > 0 \)​) – положительное.

Таким образом, чтобы неравенство (​\( (x+7)(x-9) \geq 0 \)​) выполнялось, область определения функции (​\( y = \frac{1}{\sqrt{(x+7)(x-9)}} \)​) – это (​\( [-7, 9] \)​) (включая граничные точки).