82 Просмотров

Задание:

Мистер Фокс задумал три числа, такие что сумма квадратов этих чисел равна сумме произведений каждых двух чисел.

Определите, чему равна разность суммы первых двух чисел и удвоенного третьего числа.

Ответ на задание:

Пусть числа, задуманные мистером Фоксом, обозначены как (a), (b) и (c). Условие задачи можно представить уравнением:

\[ a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc \]

Разберемся с уравнением:

\[ a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc = 0 \]

Теперь выразим разность суммы первых двух чисел и удвоенного третьего числа:

\[ (a + b) – 2c \]

Итак, мы хотим вычислить значение выражения (​\( (a + b) – 2c \)​). Давайте решим уравнение и найдем значения (a), (b) и (c).

Пусть числа, задуманные мистером Фоксом, обозначены как (a), (b) и (c). Условие задачи можно представить уравнением:

\[ a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc \]

Разберемся с уравнением:

\[ a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc = 0 \]

Теперь выразим разность суммы первых двух чисел и удвоенного третьего числа:

\[ (a + b) – 2c \]

Итак, мы хотим вычислить значение выражения (​\( (a + b) – 2c \)​). Давайте решим уравнение и найдем значения (a), (b) и (c).

Для удобства решения давайте перепишем уравнение в следующем виде:

\[ a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc = 0 \]

Теперь сгруппируем по переменным:

\[ (a^2 – 2ab + b^2) + (a^2 – 2ac + c^2) + (b^2 – 2bc + c^2) = 0 \]

Это выражение можно представить в виде полного квадрата:

\[ (a – b)^2 + (a – c)^2 + (b – c)^2 = 0 \]

Так как сумма квадратов неотрицательна, то каждый из трех квадратов должен быть равен нулю:

\[ a – b = 0 \]

\[ a – c = 0 \]

\[ b – c = 0 \]

Отсюда получаем, что (a = b = c). Теперь подставим это обратно в выражение (​\( (a + b) – 2c \)​):

\[ (a + a) – 2a = 0 \]

\[ 2a – 2a = 0 \]

Ответ: разность суммы первых двух чисел и удвоенного третьего числа равна 0.