Лесной клещ переносит заболевания П., опасное для собак
987 Просмотров
Задание:
Лесной клещ переносит заболевания П., опасное для собак. Известно, что среди собак, которых укусил клещ, заболевают только 3%. Если собаку укусил клещ, хозяевам рекомендуют сделать анализ крови, который показывает заболевания в 98% случаев. Найдите вероятность того, что анализ ошибочно покажет заболевание у здоровой собаки.
Ответ на задание:
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой условной вероятности. Обозначим:
- ( A ) – событие, что собаку укусил клещ.
- ( B ) – событие, что анализ крови показывает заболевание.
Мы знаем следующие вероятности:
- ( P(A) ) – вероятность того, что собаку укусил клещ, равна 3% или 0.03.
- ( P(B|A) ) – вероятность того, что анализ крови покажет заболевание при условии, что собаку укусил клещ, равна 98% или 0.98.
Требуется найти ( \( P(B|\overline{A}) \) ) – вероятность того, что анализ крови покажет заболевание у здоровой собаки.
Используем формулу условной вероятности:
\[ P(B|\overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})} \]
Где:
- ( \( P(\overline{A}) \) ) – вероятность того, что собаку не укусил клещ, равна ( \( 1 – P(A) \) ).
- ( \( P(B \cap \overline{A}) \) ) – вероятность того, что анализ крови покажет заболевание, и собаку не укусил клещ.
Вычислим:
\[ P(\overline{A}) = 1 – P(A) = 1 – 0.03 = 0.97 \]
Теперь, учитывая, что анализ может ошибочно показать заболевание у здоровой собаки, то есть в случае ( \( \overline{A} \) ), вероятность ( \( P(B|\overline{A}) \) ) равна вероятности того, что анализ крови ошибочно покажет заболевание:
\[ P(B|\overline{A}) = P(B \cap \overline{A}) = P(\overline{A}) \times P(B|\overline{A}) \]
\[ P(B|\overline{A}) = 0.97 \times ? \]
Теперь нам нужно найти ( \( P(B|\overline{A}) \) ). Для этого можем воспользоваться дополнением события ( B ), так как ( \( P(\overline{B}|\overline{A}) \) ) – вероятность того, что анализ крови покажет отсутствие заболевания у здоровой собаки:
\[ P(\overline{B}|\overline{A}) = 1 – P(B|\overline{A}) \]
Теперь можем выразить ( \( P(B|\overline{A}) \) ):
\[ P(B|\overline{A}) = 1 – P(\overline{B}|\overline{A}) \]
Таким образом, вероятность того, что анализ ошибочно покажет заболевание у здоровой собаки, равна:
\[ P(B|\overline{A}) = 1 – P(\overline{B}|\overline{A}) \]