К плоскости α проведена наклонная AB(A∈α)

142 Просмотров

Задание:

К плоскости α проведена наклонная AB(A∈α).Длина наклонной равна 24 см, наклонная с плоскостью образует угол 45°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

Ответ на задание:

Для решения задачи воспользуемся тригонометрическими функциями. Пусть ( AC ) — высота, опущенная из точки ( B ) на плоскость ( \( \alpha \) ). Тогда у нас есть прямоугольный треугольник ( ABC ) с гипотенузой ( AB ) и углом ( \( \angle CAB = 45^\circ \) ).

Мы знаем, что (\( \cos 45^\circ = \frac{AC}{AB} \)). Так как (\( \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)), можем записать:

\[ AC = \frac{AB}{\sqrt{2}} \]

Также нам известна длина наклонной ( AB ), которая равна 24 см. Подставим это значение:

\[ AC = \frac{24}{\sqrt{2}} \]

Чтобы вычислить расстояние от точки ( B ) до плоскости ( \( \alpha \) ), обозначенное ( BC ), можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ BC = \sqrt{AB^2 – AC^2} \]

Подставим известные значения:

\[ BC = \sqrt{24^2 – \left(\frac{24}{\sqrt{2}}\right)^2} \]

\[ BC = \sqrt{576 – \frac{24^2}{2}} \]

\[ BC = \sqrt{576 – 288} \]

\[ BC = \sqrt{288} \]

\[ BC = 12\sqrt{2} \]