Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК
24 Просмотров
Задание:
Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р, начиная от точки А. Найти длину отрезка АК и АР, если АВ=корень 30, а отрезок КР на 4 меньше отрезка АК.
Ответ на задание:
Для решения этой задачи обозначим длины отрезков следующим образом:
- ( \( AB = \sqrt{30} \) ) (дано)
- ( \( AK = x \) ) (пусть это будет неизвестная длина отрезка \( AK \))
- ( \( KR = x – 4 \) ) (по условию задачи)
Также обозначим точку ( O ) как центр окружности, а ( M ) как середину отрезка ( AB ). Тогда ( AM ) будет радиусом окружности.
Так как ( AB ) и ( AK ) – касательная и секущая, проведенные из внешней точки ( A ), то угол ( AKB ) прямой. Также, угол ( AOM ) также прямой, так как радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания.
Теперь можем использовать теорему Пифагора для треугольников ( AKB ) и ( AOM ):
\( AK^2 + KB^2 = AB^2 \)\( AK^2 + (AM + MB)^2 = AM^2 + MO^2 \)
Подставим известные значения и обозначения:
\[ x^2 + (x + AM)^2 = AM^2 + MO^2 \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ x^2 + x^2 + 2xAM + AM^2 = AM^2 + MO^2 \]
Сократим ( \( AM^2 \) ) с обеих сторон уравнения:
\[ x^2 + 2xAM = MO^2 \]
Теперь рассмотрим треугольник ( AOK ). Снова применим теорему Пифагора:
\[ AK^2 + KO^2 = AO^2 \]
Подставим известные значения:
\[ x^2 + (AM + MO)^2 = AO^2 \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ x^2 + AM^2 + 2xAM + MO^2 = AO^2 \]
Так как (\( x^2 + 2xAM = MO^2 \) ) (из предыдущего уравнения), можем заменить это значение:
\[ MO^2 + AM^2 = AO^2 \]
Теперь подставим ( \( MO^2 + AM^2 \)) из этого уравнения в предыдущее:
\[ x^2 + 2xAM = MO^2 \]
Мы видим, что это уравнение совпадает с предыдущим, поэтому мы можем заменить его в нашем исходном уравнении:
\[ x^2 + 2xAM = x^2 + 2xAM \]
Это уравнение верно для любого значения ( x ), поэтому мы не можем определить конкретное значение для отрезков ( AK ), ( KR ), ( AR ).
Тем не менее, мы можем выразить длины отрезков ( AK ), ( KR ) и ( AR ) через ( x ):
\[ AK = x \]
\[ KR = x – 4 \]
\[ AR = AK + KR = x + (x – 4) = 2x – 4 \]
Таким образом, длины отрезков ( AK ), ( KR ) и ( AR ) равны ( x ), ( x – 4 ) и ( \( 2x – 4 \) ) соответственно.