478 Просмотров

Задание:

Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р, начиная от точки А. Найти длину отрезка АК и АР, если АВ=корень 30, а отрезок КР на 4 меньше отрезка АК.

Ответ на задание:

Для решения этой задачи обозначим длины отрезков следующим образом:

• ( ​\( AB = \sqrt{30} \)​ ) (дано)
• ( ​\( AK = x \)​ ) (пусть это будет неизвестная длина отрезка ​\( AK \)​)
• ( ​\( KR = x – 4 \)​ ) (по условию задачи)

Также обозначим точку ( O ) как центр окружности, а ( M ) как середину отрезка ( AB ). Тогда ( AM ) будет радиусом окружности.

Так как ( AB ) и ( AK ) – касательная и секущая, проведенные из внешней точки ( A ), то угол ( AKB ) прямой. Также, угол ( AOM ) также прямой, так как радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания.

Теперь можем использовать теорему Пифагора для треугольников ( AKB ) и ( AOM ):

​\( AK^2 + KB^2 = AB^2 \)​\( AK^2 + (AM + MB)^2 = AM^2 + MO^2 \)

Подставим известные значения и обозначения:

\[ x^2 + (x + AM)^2 = AM^2 + MO^2 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ x^2 + x^2 + 2xAM + AM^2 = AM^2 + MO^2 \]

Сократим ( ​\( AM^2 \)​ ) с обеих сторон уравнения:

\[ x^2 + 2xAM = MO^2 \]

Теперь рассмотрим треугольник ( AOK ). Снова применим теорему Пифагора:

\[ AK^2 + KO^2 = AO^2 \]

Подставим известные значения:

\[ x^2 + (AM + MO)^2 = AO^2 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ x^2 + AM^2 + 2xAM + MO^2 = AO^2 \]

Так как (​\( x^2 + 2xAM = MO^2 \)​ ) (из предыдущего уравнения), можем заменить это значение:

\[ MO^2 + AM^2 = AO^2 \]

Теперь подставим ( ​\( MO^2 + AM^2 \)​) из этого уравнения в предыдущее:

\[ x^2 + 2xAM = MO^2 \]

Мы видим, что это уравнение совпадает с предыдущим, поэтому мы можем заменить его в нашем исходном уравнении:

\[ x^2 + 2xAM = x^2 + 2xAM \]

Это уравнение верно для любого значения ( x ), поэтому мы не можем определить конкретное значение для отрезков ( AK ), ( KR ), ( AR ).

Тем не менее, мы можем выразить длины отрезков ( AK ), ( KR ) и ( AR ) через ( x ):

\[ AK = x \]

\[ KR = x – 4 \]

\[ AR = AK + KR = x + (x – 4) = 2x – 4 \]

Таким образом, длины отрезков ( AK ), ( KR ) и ( AR ) равны ( x ), ( x – 4 ) и ( ​\( 2x – 4 \)​ ) соответственно.