4 Просмотров

Задание:

Дать определение производной для функции многих действительных переменных. Частные производные.

Ответ на задание:

Определение производной для функции многих действительных переменных:

Пусть ( ​\( f(x_1, x_2, …, x_n) \)​ ) – функция, определенная в некоторой окрестности точки ( ​\( (a_1, a_2, …, a_n) \)​ ), где ( ​\( x_1, x_2, …, x_n \)​ ) – независимые переменные, а ( ​\( a_1, a_2, …, a_n \)​ ) – значения этих переменных в рассматриваемой точке. Если существует конечный предел

\[ \lim_{{\Delta x_1 \to 0, \Delta x_2 \to 0, …, \Delta x_n \to 0}} \frac{f(a_1 + \Delta x_1, a_2 + \Delta x_2, …, a_n + \Delta x_n) – f(a_1, a_2, …, a_n)}{\sqrt{{(\Delta x_1)^2 + (\Delta x_2)^2 + … + (\Delta x_n)^2}}} \]

то этот предел называется производной функции ( ​\( f \)​) по переменной (​\( x_i \)​) в точке ( ​\( (a_1, a_2, …, a_n) \)​ ) и обозначается как (​\( \frac{\partial f}{\partial x_i} \)​ ) или ( ​\( f_{x_i}’ \)​).

Частные производные:

Частные производные функции ( ​\( f \)​ ) по каждой из её независимых переменных ( ​\( x_i \)​ ) определяются как производные функции по каждой переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Формально, частная производная выражается следующим образом:

\[ \frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{{\Delta x_i \to 0}} \frac{f(a_1, a_2, …, a_i + \Delta x_i, …, a_n) – f(a_1, a_2, …, a_i, …, a_n)}{\Delta x_i} \]

где остальные переменные ( ​\( x_j \)​ ) при ( ​\( j \neq i \)​ ) остаются постоянными. Частные производные обозначаются ( ​\( \frac{\partial f}{\partial x_i} \)​ ) или ( ​\( f_{x_i}’ \)​ ).