Дан треугольник ABC с углом B, равным 60°
2 364 Просмотров
Задание:
Дан треугольник ABC с углом B, равным 60°. В точках A и C провели две касательные к описанной окружности ABC, пересекающиеся в точке P. Перпендикуляр к BC, восстановленный в точке C, пересекает прямую AB в точке Q. Найдите ∠CQP, если ∠BAC = 40°.
Ответ на задание:
Нам дан треугольник ABC с известными углами: ∠B = 60° и ∠BAC = 40°. Проведены касательные к описанной окружности в точках A и C, пересекающиеся в точке P. Также проведен перпендикуляр CQ к стороне AB. Требуется найти угол ∠CQP.
Использование свойств касательных и вписанных углов
- Свойство касательных: Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.
- Свойство вписанных углов: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Решение
-
Найдем угол ∠ACB:
- Сумма углов треугольника равна 180°.
- ∠ACB = 180° – ∠BAC – ∠ABC = 180° – 40° – 60° = 80°.
-
Рассмотрим четырехугольник APBC:
- ∠APC = 360° – ∠PAB – ∠PBC – ∠ACB.
- По свойству касательных ∠PAB = ∠CAB = 40° и ∠PBC = ∠ABC = 60°.
- ∠APC = 360° – 40° – 60° – 80° = 180°.
- Следовательно, четырехугольник APBC – вписанный.
-
Найдем угол ∠ACP:
- По свойству вписанных углов ∠ACP = ∠ABP = 60°.
-
Рассмотрим треугольник CQP:
- ∠CQP = 180° – ∠QCP – ∠PCQ.
- ∠QCP = 90° (по условию CQ перпендикулярно AB).
- ∠PCQ = ∠ACP = 60° (доказано ранее).
- ∠CQP = 180° – 90° – 60° = 30°.
Ответ: ∠CQP = 30°.