В трапеции ABCD, в которую можно вписать окружность, проведена диагональ AC
4 Просмотров
Задание:
В трапеции ABCD, в которую можно вписать окружность, проведена диагональ AC. В каждом из треугольников ADC И ACB выписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания окружностей и диагональю АС.
Ответ на задание:
Обозначим точки касания окружностей, вписанных в треугольники ADC и ACB с диагональю AC, как E и F соответственно.
1. Свойства вписанных окружностей:
- Центры вписанных окружностей ( и ) лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольников, к которым они приписаны.
- Пусть и – радиусы вписанных окружностей в треугольники ADC и ACB соответственно.
- Согласно свойствам вписанных окружностей, имеем:
2. Симметрия:
- Точка пересечения диагонали AC и средней линии трапеции ABCD является центром симметрии трапеции.
- Обозначим эту точку как O.
- Так как I1 и I2 лежат на серединных перпендикулярах к сторонам AD и BC, они симметричны относительно точки O.
- Следовательно, треугольники и симметричны относительно стороны AC.
3. Расстояние между точками E и F:
- Расстояние между точками E и F равно сумме длин и .
- Из симметрии треугольников и относительно AC следует, что .
- Таким образом, расстояние между точками E и F равно:
4. Вывод:
Расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ADC и ACB, с диагональю AC равно удвоенному радиусу вписанной окружности в треугольник ADC.