7 Просмотров

Задание:

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 15

Ответ на задание:

Пусть ( ​\( d_1 \)​) и ( ​\( d_2 \)​) – диагонали параллелограмма, а ( ​\( D_1 \)​) и ( ​\( D_2 \)​ ) – диагонали ромба.

Отношение диагоналей параллелограмма равно 15, то есть (​\( \frac{d_1}{d_2} = 15 \)​ ).

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам, следовательно, (\( D_1 = \frac{d_1}{2} \)) и ( ​\( D_2 = \frac{d_2}{2} \)​).

Отношение площадей ромба и параллелограмма:

\[ \frac{\text{Площадь ромба}}{\text{Площадь параллелограмма}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot D_1 \cdot D_2}{d_1 \cdot d_2} \]

Заменим ( ​\( D_1 \)​ ) и ( ​\( D_2 \)​):

\[ \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2}}{d_1 \cdot d_2} \]

Упростим выражение:

\[ \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot d_1 \cdot d_2}{d_1 \cdot d_2} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, отношение площади ромба к площади параллелограмма равно ( ​\( \frac{1}{8} \)​ ).